echo $(expr $i \* 4) 与 echo `expr $i \* 4`这两种包围expr的符号也就是$()与``的意思一样吗？
两种都常用吗？

在 bash 中基本相同。区别参见 man bash 中 "Command Substitution" 一节，或下文倒数第二个参考链接中 "3.4.5. Command substitution" 一节


在 bash 中都常用，但考虑到在 bash 中二者略有区别，采用 $() 比较好。

相关讨论 参见
http://mywiki.wooledge.org/BashFAQ/082
http://stackoverflow.com/questions/4708549/whats-the-difference-between-command-and-command-in-shell-programming
http://stackoverflow.com/questions/22709371/bash-backticks-vs-braces
http://www.linuxquestions.org/questions/programming-9/bash-when-to-use-backtick-and-when-to-use-$-490497/
http://superuser.com/questions/874562/difference-when-using-backticks-in-double-quotes-and-single-quotes-in-bash
http://tldp.org/LDP/Bash-Beginners-Guide/html/sect_03_04.html
https://ubuntuforums.org/showthread.php?t=1587331

起码来说， $() 可以嵌套。
另，我曾碰到过一个场景，具体想不起来了，只能用 ``。